微积分

为了节约篇幅，本部分以微积分A(1)为标准。行健的数分高代我讲不了x，低阶版本的可以根据自己班的授课情况选择性查阅，我也会做适当的补充。

微积分是一个很综合的数学门类，既包括很抽象的理论推导，又有很具体很计算的数值应用，两者之间需要的思维有一定的差异，所以学习的过程主要从三个线索抓起：一个是从理论上讲明白从实数连续统理论到微分、积分语言这一套完整的语言体系（数列极限、函数极限与连续、导数与微分语言、积分语言），这部分考试可能考得并不多（因为这更多的是数学分析干的事情），但私认为这是最体现高等数学区别于初等数学的地方，也就是完整逻辑链条的演绎，一般情况下老师上课也会更多地沿着这个线索走；一个是从计算层面上搞清楚这一套理论如何应用在计算上（比如用积分算长度面积体积，不定积分的计算，给定阶数的展开etc），这也是学习微积分的同学最重要的目的，今后绝大部分工科和商科的同学都会遇到大量用微积分语言描述的计算公式或算法，尤其是概率论与数理统计这门应用型更强的高年级数学基础课也需要用到大量的微积分计算；最后一个是一些偏向于应用和技巧的线索，即利用一些基本的定理和命题去发掘一些数学对象（如函数、数列）的性质，给出一些对象之间的等式或不等关系，这也是（考试）难度比较大的一条线索，也是习题课和考试最后一题经常出没的类型。我将从三条线索分别说明微积分学习过程中需要注意的一些地点。但在学习时应做到相对统一，不同线索之间不要学得太割裂，看理论推导时想一想怎么用到计算上，做计算题时也要多问几个为什么，不要连算的什么都不知道。

理论路线

这条路线对于学习微积分的同学而言要求可以根据个人体质来制定适合自己的目标，会者多学，感觉吃不饱拿本数分教材来学完全可以（简单的像常庚哲的那本，难一点的比如卓里奇或者于品老师的讲义）。一般来讲，选择微积分A及同等难度微积分的同学，至少应该搞明白极限和连续的定义，数列和函数极限的关联，微分语言的创立和微分中值定理的推导，以及朴素形式的积分原理（积分和的极限，对于严格Riemann积分的推导可以当成黑箱）；而一些更细节性的理论构建（比如实数系连续统公理的等价互推，Riemann积分的推导，微分方程解的存在性等）可以根据自身情况选择性学习；对于微C、文科数学的同学对于严格理论的推导可不做过多要求，但也应从宏观上了解整个理论的轮廓。之所以这么讲，是因为必须要保证整个逻辑链条的完整性，而缺失前面所说的必学部分的任何一条都会直接对完整性造成破坏。

其中数列极限的定义是最为重要和本质的，即“\(\varepsilon-N\)”和语言本质的理解和描述。初学者在学习时要反复揣摩，搞明白为什么数列的极限是“对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，总能找到 \(N\) ，使得序号为 \(N\) 后面的值和极限值的差距总在 \(\varepsilon\) 之内”，以及这样的定义能够给我们带来的信息是：我拥有了控制数列元素值的范围的能力，尽管我并不能判断 \(a_{100}\) 的大小，但我总能作一个截断，使得截断后面的元素总能保持在一个比较小的波动范围内。这个信息量是非常大的，很多证明数列极限存在的问题（当然，大部分都是数学分析里的问题）都是通过这样不断地作截断（取 \(max\{N_1,N_2,\cdots,N_m\}\)，使得截断后面的元素满足 \(m\) 条性质，来达成我们想要的结果），最简单的例子就是数列加减乘除极限的证明，以加为例，因为可以对两个数列作两次截断使得与目标值的差均小于 \(\varepsilon/2\) ，再作加法即可，很多复杂的例子也都由此衍生而来。数列本身也有很多值得挖掘的性质，这些性质常常与实数系连续统公理息息相关。比如承认数列极限的柯西准则就意味着承认了确界原理，考虑到微积分并不注重于这种级别的构建，所以在学习中可以暂时认为确界原理、柯西准则、区间套原理、聚点原理等等都是正确的（一般情况下会选择确界原理作为起点，因为其形式最为简单，而且看起来最为“显然”，如果我说闭区间套定理是起点可能会显得有些不自然，毕竟定理本身显得有些复杂），我们所需要的只是应用（当然，事实上微积分对于这个领域应用的要求也很低，但需要注意的是，柯西准则的推证和应用是至关重要的，正如于品老师所说：“柯西准则的提出使得数列的收敛不依赖于某个已知的和数列本身无关的数，而仅仅依赖于其内蕴的性质。”）对于学有余力的同学，可以在这几个定理互推和应用上多留一些时间，谢惠民的《数学分析习题课讲义》对于相关内容有着相当丰富的讲解。

函数极限的定义在对数列极限定义的理解的基础上并不困难，而连续在古典微积分的意义上也仅仅是规定了函数在一点上的极限恰等于这一点的值（现代分析对函数的连续给了一个拓扑的定义，有兴趣的同学可以了解）。对于函数的极限和连续部分，最重要的是搞明白其和数列极限的关系（即任一收敛于该点的数列的函数值也收敛等价于函数值收敛），很多证明需要用到这个（思考一下为什么？因为函数上的点是不可数多个的，我们擅长控制的是可数多），同时这个部分的很多命题证明要用到选取子列的技术（三段式：选取收敛子列——证明子列收敛于某一值——证明所有项收敛于该值；反证法：假设命题不成立——选择一个子列，根据函数的性质推出子列应该拥有的性质——导出矛盾），比如有界闭区间连续函数必有双边最值，有界闭区间连续函数必一致连续等等，要多多体会其证明。在这一部分，必须掌握的内容是具体函数连续的判定（两边收敛极限相同等于该点的函数值），以及无穷小量（对计算非常重要）。对于学习微积分的同学而言，比较重要的一点是搞明白不同种类的收敛，比如收敛到无穷、单侧收敛等等，因为考试的时候经常要用到，对后面微分和积分的学习也相当有帮助。介值定理自身及其证明都很有意义，而且证明思路有很多，应反复揣摩（究到本质事实上就是实数是“填满”整个数轴与函数连续的结合，因此可用区间套定理、确界原理等多种方法证明）。在理论推证当中，自然指数 \(e\) 是一个非常重要的课题，围绕其性质的考察也综合了前面所有的内容，但如果同学们阅读过于品老师的讲义的话，会发现 \(e\) 传统的定义是一件非常糟糕的事情。

个人认为，theory线索对于大部分学习微积分的同学而言，最重要的还是微分和积分体系的建立（毕竟这也是我们学习的最终意义嘛hh），而且不仅有必要性，也是有可行性的。这两个体系的建立相较于实数、极限和连续体系的建立而言，层级更高，但抽象性小了很多，很多都是我们高中的时候学过的知识，这里只是严谨化了，而抽象的实数、极限和连续体系，在这里可以当作黑箱来处理（定理和计算方法都能拿来用）。就好比计算机代码的结构，我们总不可能直接用二进制语言来写程序，到了最后大部分都是写好了库写好接口直接来调用就可以了。

对于学习微积分的同学而言微分部分一般是先学导数再学微分（事实上微积分层面上的微分更多地是一种表达的形式，微分的本质则是相当难以理解的，对学习数学分析的同学而言也要揣摩良久）。导数的理解还是比较友善的，毕竟定义本身就是单纯极限和连续的语言，并没有多出来什么东西。比较重要的是链式法则、反函数和隐函数求导的原理（包括证明），当然这一点也和对于微分的理解紧密相关，对于初学者而言，搞明白 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 的含义是至关重要的，对后面的计算也非常有帮助（两边同时作微分运算往往计算复杂性远小于求导本身，事实上隐函数求导的本质也是两边微分）。在这一环节，搞明白函数变量之间的约束关系至关重要，很多同学在初学时往往无法理解为什么 \(cos\ y\) 对 \(x\) 求导后是 \(-y'sin\ y\) ，原因就是不理解变量之间的约束关系，事实上最好的理解方式就是把 \(y\) 写成 \(y(x)\) （事实上也就是如此），有时书写方式的简化有害于对数学表达式的理解，这点在很多领域、尤其是在求高阶导的时候非常明显。高阶导数和高阶微分是一阶导数和微分的自然延伸（仅限于一元微积分，对于多元微积分而言，一个高维变量“求导”后相当于张量阶数加1，本质上变得不同），在学习时也要注意变量之间的约束关系，这点在求反函数高阶导时常常会犯错误）。对于微分的本质，非数类同学只需要理解成“近似线性”的关系就可以了，而 \(\mathrm{d}x\) 也只需要理解成一种记录的符号，对于本质可以不去深究（即余切空间上的线性变换）。

判断自己是否完全掌握前面知识有很好的几个方法，对于连续和可微的判断，可以考查 Riemann 函数、以及常见的“三角函数里套分式”的函数的上述性质；推导反函数的二阶导公式也是非常综合的问题，这些也是会在考试里面出现的。

微分中值定理（包括 taylor 展开）内容非常多，但相对来说比较具体，抽象性相对于前几章的理论弱了很多。搞明白 Fermat 定理、Rolle 定理、 Lagrange 中值定理、 Cauchy 中值定理的内容和证明是至关重要的（而且证明过程都是相对好记忆的，比如 Lagrange 定理就是用割线来转化成 Rolle 定理，Rolle 定理就是 Fermat 定理多一步，需要强硬记忆的只有 Fermat 定理）。这几个定理在证明题中意义重大，常用来对代数式进行转化（把函数值转化成含导数的形式）、证明存在性等等。L’Hospital 定理在计算里面非常重要（但尽量不要滥用，L‘Hospital 定理事实上是非常丑陋的定理），但证明过程相对 trick ，可以选择性学习。Taylor 展开在常庚哲、史济怀《数学分析讲义》一书中被称为“一元微分论的顶峰”，事实上的确如此，其使所有 \(n\) 阶可微的函数具有了某种统一（且好处理）的形式，其证明本身也值得学习（有很多种方法，可以广泛地学习）。但在学习时需要注意 Taylor 展开只能是有限项，在学习级数之前不要想当然地去写成级数的形式（在搞明白级数之前，我们甚至不能将无穷项相加！）。

积分的理论构建对于非数类的同学而言要求并不高（事实上可积性充分条件的推导并没有引入太多抽象的理论，而且也是前面所有内容的集大成者，只是本身较为繁琐，对以后的应用关系也并不大），但推荐大家在老师上课的时候跟着推两遍，本身也是对前面 theory 部分的应用。但个人认为 Newton-Leibniz 定理的推导，以及朴素的积分定义（即积分和的极限）是应该掌握的，否则对积分的理解会非常浅薄。积分第一和第二定理的推导相对简单，但要对使用条件牢记在心。反常积分的理论相对简单（就是一族积分的极限），只需要记住积分区间存在无穷时是如何取极限的、积分区间存在瑕点时是如何取极限的即可。但事实上反常积分敛散性的判断非常 tricky ，在考试过程中一般也不会涉及太多，基本只需要作简要的理解即可。值得注意的是，双边积分区间无穷的反常积分一定要把定义牢记在心，不要将其和积分主值的定义搞混。

对于大部分学习微积分的同学，上述的理论最好都可以掌握，至少要把宏观上的逻辑链捋清楚，具体的证明细节可以视情况当成黑箱处理；对于微C、文科数学的同学，对于证明可以不作太高要求，但至少要把极限、连续、微分和积分的朴素定义记住，例如“积分是把一个区间分成很多小区间，每个区间上取一个函数值并做一个积分和，这样的积分和如果随着区间长度趋于零时趋于一个常值，则这就是积分”等等。

计算路线

这事实上也是考试和将来同学们在专业课上应用的核心问题，那就是如何“算”。这一部分我们只讲单纯的计算问题，一些综合的问题我们放在应用里面去讲。

首先最单纯的计算问题就是积分和微分方程的计算，个人认为这两个计算是和理论部分最为割裂的，所以放在最前面讲。不定积分的计算基本侧重于积累，可以说“积分破万道，下笔如有神”，刚开始觉得离谱的凑微分和换元，后面来看都是十分 trivial 的。在写作业或者做习题的时候注意多观察，出出来的不定积分一般都会刻意而为之（毕竟随便写个式子的不定积分大概率没有初等形式），比如诸如 \(\frac{sin\ x}{1+cos\ x}\) 这种分式自然要往 \(\mathrm{ln}\) 上去靠，分母上带 \(1+()^2\) 的显然就是和 \(\mathrm{arctan}\) 跑不了干系，套根号的一般要用 \(\mathrm{tan}\) 换元用 \(1+\mathrm{tan^2}\ x=\mathrm{sec^2}\ x\) 搞掉根号等等，也没必要刻意整理，做的时候多寻思寻思自然能力就会上来。定积分也是如此，不过定积分在积分区间上可以做文章，一些不定积分不可积的到了定积分之后可以通过很多操作算出来，常见的比如利用对称性（比如 \(\mathrm{ln}\ x\) 从 0 积到 1 之于 \(-\mathrm{ln}\ x\) 从 1 积到正无穷等等，还有一些相对复杂的形式，比如 \(ln(1+x^2)\) 等等，都有一些 tricky 的变换，本质上要么轴对称要么中心对称，用 geogebra 画个图像会很 trivial）。一些著名积分（如 Euler 积分、Poisson 积分、弗兰汝尼积分）等记住即可。积分的应用基本是求曲线长度、面积和体积，这一部分照理会在多元微积分部分拥有更明朗的解释，一元微积分中可以暂时先按照显函数、隐函数、参数函数；求长度、面积、体积的 \(3\times 3\) 网格硬记计算方法，尤其是对于较难画出图像的参数函数，可以通过 Geogebra 程序绘制一些常见参数函数的图像自行体会，但最好还是从理论上搞明白。微积分所覆盖的微分方程可以说沧海一粟，把几个特殊的 trick 记住（比如 Bernoulli 方程，几个常见的变量代换等等），剩下的基本就是照猫画虎。

除了积分之外，其他所有的计算可以说是一盘棋，本质上就是对数列和函数的研究。核心是对基本函数性质的理解和代数式的变换，对常见函数的趋势（指对幂）要有非常清晰的认识。学会积累一些常见的运算技巧，比如数列极限常常会应用 \(\lim_{n\to \infty}n^{\frac{1}{n}}=1\) 这一性质进行两边夹逼，求函数高阶导可以直接用泰勒展开逆推，以及最基本的取对数、指数化（\(x=e^{\ln\ x}\) ）等等。准确地使用大小欧记号是消除想当然的极限计算的先决条件，比如常见的 \(o(1)-o(1)\) 型错误，等等。对于基本的求微分和求导计算最重要的就是准确记忆基本函数的求导公式以及 theory 部分各种求导方法，像反函数的高阶导往往是计算的重灾区，学会在等式两边分别 \(\mathrm{d}x\) 是简化运算的有效手段（尤其是后面的多元微分），一元微积分里面也可以规避分式求导的麻烦。微分在函数中的应用可以说是微积分 1 中最接近于高中数学的内容，但应结合泰勒展开理解函数 \(n\) 阶导为 \(0\) （及 \(n\) 阶导后面均为 \(0\) ）的具体含义，对于凸函数的理解应更加深刻，尤其是凸函数与连续函数之间的关系，应多加思考（具体可见谢惠民书）。

事实上，微积分 1 中的计算难度并不大，可以说相对于理论部分，更多的在于同学们平时完成作业的态度和一定的训练和积累，尤其是像算极限和算积分这种完全吃积累的东西。值得注意的是，老师在上正课的时候不会把时间放在这一个 part，事实上老师每周五小节的时间基本都在进行理论的推导，根本不会有时间教你怎么算积分和极限。这就意味着上课内容和考试内容的相对割裂（事实上并没有割裂），所以同学们的主观能动性尤其重要。

应用路线

这一部分是考试当中难度最大的，基本上也是判定同学是否能够拿到 A/A+ 水平的判断标准。常见的形式就是利用我们在理论构建当中构建的轮子去解决或者证明一些问题，常见的比如证明一些含 \(\xi\) 的不等式（就是用微分和积分中值定理去倒腾），利用介值定理、Rolle定理之类的去证明一些零点或驻点的存在性问题，或者直接就是和高考导数一样证明一些数列不等式，等等。这一类问题的确相对综合，大部分问题其实都是数学分析的学习内容，其中一些比较具体的问题会放到微积分当中作为困难的问题考察。

这一类问题花样比较繁多，事实上也不太好有什么普适的方法，对于学习微积分的同学而言最好的方法就是见招拆招。比如在泰勒展开一章中有很多固定一阶导、二阶导范围，去控制 \(f(a)-f(b)\) 的大小范围（用 \(a\) 和 \(b\) 以及导数的界来控制），这一类问题基本是通过 Taylor 展开来进行一些放缩（这里面水很深x，比如说变量 \(x\) 既可以作为“常数项”（即各阶导数所代表的项），也可以作为本来的变量，两种方法的差别还是很大的），这是一类很大的问题，重要的就是通过需要证明的式子反推需要什么样的定理去进行放缩（比如说带导数的就用微分中值，带积分的就用积分中值等等），毕竟题目都是人为出出来的，自然也是有迹可循的。

总结与资源

微积分的抽象程度从头到尾依次递减，技巧和计算量从头到尾依次递增，所以总是没有太好过的时候，和线代还不太一样x。刚开始一个月大家多看教材和课上的笔记，对于证明什么的多推几遍，把整个体系的构建搞明白；等期中结束之后多练练计算什么的，对以后概统和部分专业课的学习都有好处。

资源的话，3Blue1Brown的《微积分的本质》对于从直观上理解微积分的构建具有很大的帮助，但过于追求直观以至于失去了很多形式化的推导；《普林斯顿读本》和《托马斯微积分》以其翔实的语言和讲故事一样把整个微积分的发展史讲给大家，都是非常好的补充材料。习题集而言，《吉米多维奇习题集》继承了苏式教材一贯的暴力风格，可以挑诸如积分计算这种练练，但做全套的确浪费时间，多出来的时间不如干别的；谢惠民的《数学分析习题课讲义》尽管是微积分但第一册内容上和微积分差别不大，学有余力的同学可以深挖；菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》拥有非常多的例子和应用，可以作为拓展读本阅读。

网课资源我不太了解，但咱们学校的微积分教学团队质量还是有保障的，其实网课跟平时听的也基本大差不差。线下的小班辅导、习题课、助教答疑、答疑坊资源都要用起来。