学习方略

课上学习

老师上课听讲基本就会把教材上的正文过一遍，在黑板上板书证明过程，并会给一些自己相对形象的解释，有些老师喜欢讲故事，把当年数学家是如何想到这么做的讲一遍；有些老师喜欢自己给每一步的动机做解释，比如说为什么线性空间要这么搞，为什么要设立微分的概念（否则就不如看书了，所以纯念书的老师我一般就不听了x），当然有些比较逗的老师经常会在课上吹水一些看似无关其实非常有用的话题，对我来说可能老师念教材的时候我可能不会好好听，反倒是聊一些奇怪的东西的时候我会仔细揣摩，有时候甚至真的可以学到很多，比如我在学数分1的时候老师就把数列极限的有关定理引出了两条路线，后来我明白了这两条路线的本质其实就是欧几里得空间向拓扑空间和度量空间的抽象，这让我学到对应章节的时候豁然开朗。个人认为线性代数听课相较于微积分更有必要，一方面线性代数更加抽象，靠看教材可能理解深度不够；另一方面线性代数考试内容和课上教授内容一致性更高。

除了少数数学理解力很强的同学，学校老师的讲解进度大部分同学应该都无法当堂完全消化（差不多就是一节三小节微积分刷完可积性理论，一节两小节线代讲完线性空间视角下的方程组解理论，进度还是非常恐怖的），所以提前看看书就挺重要，课后再看看书也很重要。课上也别光为了记笔记而记笔记，甚至有时候为了防止分心我个人会选择只听课，只写一些关键点和老师无意说出来的一些话语（x），当然拍照也是很好的记录方法，怎么方便怎么来。

习题课也应该算入课上的一部分。习题课的话一般是助教，也就是大部分是研究生的学长学姐在教，大部分水平也都足够过硬，所以除非水平的确能支持自己不用去（比如说习题课的题自己简简单单就都做出来之类的）之外最好还是去上，毕竟正课对例题和习题的讲解确实不会太多，比如说线代讲特征值的时候也就会带大家算一两道具体矩阵的特征值计算，但是一些偏技巧性的问题就要放到作业题上了。习题课一般会提前几天把讲的题目发到群里或者网络学堂，推荐提前做一下。

完成作业

听懂课、做好作业、考高分、学会数学这四件事情并不相同，甚至有很大的差异，其中最大的莫过于听懂课和做好作业。由于课时量有限，老师上课只会把整个章节的理论部分过一遍，比较具体的内容有些老师会进行课本上例题的讲解，但由于时间关系可能讲的并不充分。这就需要大家多线程工作（事实上也是必要的，数学本来就是不停地在造轮子和用轮子，很多同学将来需要的就是在自己专业的学习过程中，看懂所有的数学推导并且能够利用自己掌握的数学工具进行数值计算，我还在工科院系的时候就深刻感受到这一点）。

微积分的作业基本都是作业的课后题，有些老师会加一些附加题，其中一部分是计算题，这一部分需要同学们结合课本例题、老师讲解和PPT来完成，大部分是课上推导的理论的直接应用，但有一部分也有自己的一套技巧，另一部分是一些证明题，同学们比较头疼的是比较抽象的证明题，就是那些整个题干没有一个具体的数的那种，这些可以尝试着查阅资料或者询问老师和助教。

线代的作业分两派，一派是英文教材的课后题，以数值计算为主；另一派是一本自编讲义的课后题，由于编写老师是数学专业的从业者，所以证明的部分会很多，远远超过了考试的要求。作业的完成一方面要自己充分独立的思考，另一方面也不要硬磕（很多题目确实难度过大），学会寻找助教、答疑坊志愿者，或者同班同宿舍的同学都是很好的方法。计算部分也分有意义的和无意义的，像人手爆算矩阵基本上就是为了考试而做准备，除了完成作业和考前练一练没必要再多写（但为了保持自己的计算能力完成作业的时候就不要用设备了）；但很多技巧性的计算需要训练，而且需要多练，无论是函数的展开还是矩阵的运算都要多加训练，才能拥有更深刻的理解。

课后自主学习

就我个人而言，我自己学习数学（包括我学习数学的专业课）喜欢先把书过一遍，然后把书合上自己在白纸上把整个理论的构建过一遍（除了那种只能硬背的大长篇推导），类似于我在讲课，如果我能讲下来了，说明我至少理解了。如果要求高一点的话，可以在教材上写很多注记，比如“我猜测这个技巧是这么想出来的，那个技巧和这个技巧在本质上有些相似”等等，就好比“我自己是数学家，我要怎么讲好这个 story ，我要怎么把这个表象抽象化、理论化”。微积分和线代本来就是讲述了一个非常完整的 故事，叙事化的学习方式自然也是非常有效的。例如，在学习微分和导数这一章时，我可以拿出几张白纸，把导数的定义、常见函数的导数推导、导数的计算（加减乘除，复合函数，反函数隐函数）、求高阶导、微分的定义等等一大堆东西全都写一遍，嘴里也可以跟着口述，如果做得比较顺利而且没有遗漏太多的点，那就说明这个地方的逻辑链自己已经搞的很清楚了。如果希望自己的等级再搞一个 level ，可以做一部分题目或者了解更多知识（比如如果你学习了多元微分和更本质的微分，会对这里的知识拥有更深刻的理解）。

线性代数的体系由于线性空间的理论被阉割了太多很多理论并不连贯，对于相对完美主义的同学可以阅读谢启鸿的《高等代数学》把抽象的线性空间部分。但对矩阵论的挖掘也是可以非常深刻的，比如说矩阵分解的一些应用（如奇异值分解在图像压缩中的应用，扰动论等等），在计算机某些方向中起着至关重要的作用。正所谓书常读常新，我学完微积分A1和线代已经接近两年了，但我现在再回过来看还是能看出来很多东西，无论是纵向深度的延申还是横向和其他学科知识的联系。此外，对于一些抽象的话语可以多举例子，尤其是举反例。这些都是和自己较劲的方法，究其根本就是“我要看懂他说的——我要把他的话复述出来——我要自己想想他为什么要这么想，怎么想出来的，如果是我我会怎么讲，我能想出来什么更有意思的事情”，这里面每一步要怎么做就各显神通了。有些同学喜欢做记录就可以多写写笔记，但没必要和高中那样整什么错题本，那太做题家了，可以和写日记一样写写自己学习中有什么想法，自己之前有什么不严谨的地方，这都是很好的手段。

平时除了上课和作业外适当的多学一些是有必要的，但并不是和高中一样买本习题集刷，尤其是像吉米多维奇这种纯粹的大词典更没必要。一般来讲习题课之前会提前把题目发出来，可以自己提前做一做，难度往往相对较大，很多是相对 tricky 的题目或者比较难的类似于数学分析和高等代数的内容。

学会寻找帮助

​ 朋辈的话舍友、同班同学都是很好的交流伙伴，可以互相聊一聊自己对某个章节的理解，没有必要太具体到某个问题（事实上我这个指南也很宏观，因为我也忘记了微积分和线代的很多细节，被数分高代重写了lol），比如“你觉得泰勒展开有什么用啊”、“你平时算积分的时候都怎么想”、“你觉得如何直观上理解奇异值分解”等等；助教是答疑的好地方，有不会的问题自然可以去问，也可以去问一些宏观的问题，比如本指南里面的很多问题都可以拿来去问，助教学长学姐比我水平高很多，会有更丰富而科学的答案。答疑坊以本科生志愿者为主的机制非常方便进行交流，会使你的学习事半功倍。

不要害怕麻烦老师 ，绝大多数数学基础课老师（包括数学专业课老师）都非常欢迎学生答疑，甚至他们非常不希望看到没有学生去答疑的场面，同时有的老师允许在微信群里答疑并鼓励同学们在群里交流讨论（even 作业题）。此外，除了现实生活中的交流，寻找网络资源也是非常好的途径。B 站上有很多的网课或者科普视频，如 3Blue1Brown的《线性代数的本质》和《微积分的本质》对于形象理解两门数学课的逻辑链条大有裨益，但在严谨性上落了下乘，不应为了单纯形象的可视化而丢失了逻辑推导本身，

其实对大部分同学而言上半学期的数学最大的困难在于开头的部分，可能只学习过高中那种相当具体而直接的数学的同学很难理解大学数学的思维模式（即使是学习过竞赛的同学也是如此），像高中再难的圆锥曲线和导数不过是各种技巧的堆砌，本身没有任何逻辑深度，而到了极限这个地方用上了各种逻辑语言和抽象的理论推导，可能会让很多同学来一个当头一棒。相反，到了下学期微积分A2的时候更多的就是单纯难度的问题了（一部分原因也是因为多元微积分和级数根本没法往深了讲），并不存在太大的思维跨度。所以期中考试之前的时候同学们可以适当逼自己一把，多看看书、多写东西、多问问，把这个坎跨过去了后面难度反而不会这么大。

取得高分的技巧

正如前面所说，学好数学和拿到高分并不是完全对等的，根据大部分非数类同学的专业需求，微积分和线代的期中和期末考试往往以计算为主，而计算其实是相当具体的数学，举一个例子，我想计算 \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}\) ，用泰勒展开和无穷小量的知识很容易得到结果（或者洛必达硬算也可以），事实上我们可以发现其本身并不需要我们理解泰勒展开和无穷小量过多的理论推导，而仅仅需要会应用一些推导很完善的结论即可；对于线代而言算一个最小二乘法的解似乎也没有必要搞明白为什么要在两边同时左乘矩阵转置。这种现象在数学界叫作“云”（其实还不太一样，但差不多就是这个意思x），即对推导的细节并不了解，只懂一个大概的思路。因此，如果单纯希望考试能够得到高分，自然会有其效率更高的方法（尽管我们本身并不希望这么做，这几年的考试也在规避）。

最直接、最高效的方法自然是做往年题。获得往年题的方法有很多，比较大众的有院系云盘资源、闭社考试题库等等，找学长学姐索要也是非常有效的手段。做往年题可以帮助你知道考试大概会怎么考，哪里不会点哪里（甚至对于后面的很多专业课，期末考试就是往年题的排列组合）。根据近几年的形势，微积分的题目主要包括积分、极限、导数及泰勒展开、微分方程的运算，可微性、连续性和反常积分敛散性的判断，简单的利用定理证明不等式或存在性问题；线代正在逐步向从头算到尾的方向迈进，考试前可以多算几道方程组、矩阵求逆、特征值和奇异值计算、常见的矩阵分解等等，平时写作业的时候除非遇到太逆天的数也最好不用计算器，一般也多花不了多久。基本上把所有的往年题搞明白搞懂，考试几乎不可能拿低分。

网络、书籍资源

数学学科相对于工程类学科而言，书籍材料仍然是最主要的形式。同学如果学有余力，与其做一些比较技巧的难题，不如看一看相对高阶的教材或习题集，像学习微积分A的同学可以阅读常庚哲、史济怀的《数学分析讲义》或者谢惠民的《数学分析习题课讲义》，学习线代的工科同学可以看一看姚慕生的《高等代数学》和《高等代数》及《Linear Algebra Done Right》，对矩阵运算比较感兴趣的同学可以提前学一学数值分析或者矩阵分析。如果想从更具体的角度来了解这两门数学可以阅读一下David《线性代数及其应用》和《普林斯顿微积分读本》两本书，体会一下欧美数学教材手把手教学的风格，这也是我个人比较喜欢的教材风格.

百闻不如一见，同学们有兴趣可以多看看，有的教材喜欢玩高观点，把一些更深入的知识阉割一些让大家学习，比如微积分卓里奇的《数学分析》相较于传统数学分析多了很多泛函、流形的内容，线性代数的《Done Right》对映射的观点也很高；有些教材四平八稳，内容全面且难度梯度从易到难都有，比如谢惠民《数学分析习题课讲义》，线代的《高等代数》；有些教材喜欢图形直观，比如Gilbert Strang的线代；有些教材就喜欢用其他学科的背景来帮助理解，比如我截图的两本教材。不同教材的风味不同，给大家的帮助也各有千秋。学和思、学的广度和深度都要兼顾，既不要只热衷于研究现有知识内困难繁复的问题，也不要只热衷于概念成为名词党。

网络资源相对繁杂，像北大数院学习指南里面关于数学分析和高等代数的资源分享可作为对应的拔高版本；b站和知乎上也有一些质量还可以的讲义和视频，但总体来说质量参差不齐。国外的话 math stackexchange是相当好的问答网站，但应注意提问的艺术，否则问题经常会被ban掉。学会用计算机软件学习数学是必备技能，可以利用mathematica、geogebra、wolframalpha等软件或网站进行绘图或运算工作。学校本身也有很多资源平台，像院系云盘、闭社考试分享计划等等，里面会有很多诸如往年题、习题课讲义、作业答案之类的资源。

前面给的一些资源仅供参考，因为我个人是数学专业的，里面提到的一些也都是数学专业的参考书。因为大一上的微积分和数分隔阂还没那么大，代数的差异就更小了，其实是可以互通的，阅读的时候自己降低下标准，比如说只需看懂不要求掌握就可以了。后面内容详论会有更详细的学习资源信息。

资源检索能力

正如我在前文中提到，总不能大家每上一门课、每参加一个活动，都要有人给大家写一份学习指南。授人以鱼不如授人以渔，在大一阶段学会主动提问、搜索资源对于本科乃至后续学习和工作都有巨大的帮助。

乐于提问并学会提问是非常重要的技能。很多时候学习指南、wiki、知乎或者论坛上的一些帖子或许内容全面、条理清晰，但问题在于，它无法听到你的个人需求，很多内容并不适用于你，而且也无法对你的问题进行实时的回答；一些不适合公开的问题（比如某个老师的教学质量或者组里的氛围，一些相对私人化的问题）也无法得到回答，此时学会点对点地寻求老师、学长学姐、同年级同学甚至有时候是低年级同学的帮助、包括在网络上，比如知乎、b站私信等寻求帮助是非常有必要的。所以第一点是要敢于提问，同学们往往也都是受到过帮助的人，在后来人找自己帮助时，大部分人都乐意去做一些举手之劳的事情。但同时，提问也是一门艺术，举最简单的例子来说，找老师、助教或者答疑坊志愿者提问时直接甩一张截图就并不是一个很好的提问方式，原因也并非因为有失礼节，而是因为对方不知道你哪里卡了、你的思考过程是什么样的，所以提问时要注意语言简洁、需求详细，具体可参考提问的艺术。

除了提问之外，资源检索还要充分利用网络资源，例如清华大学有非常多的公众号，范围涉及学习、社工、社团、实践、艺术、科创等各领域，其中会有很多信息发布的渠道。某匿名网站虽然内容鱼龙混杂，但若使用得当还是能够得到很多有效的信息。