综述

如何正确对待基础数学课¶

微积分和线代在同学们大一上学期的所有课程中所占学分比重很大，而且处于从高中到大学过渡的阶段，尽管大方向都在说缓解绩点焦虑、抵制无效内卷，但这两门数学课在大家初入大一、生活的元素大部分还是以学习为主的背景下，某种程度上具有很大的象征意义。大多数同学如果在这两门课中取得良好的成绩，或多或少会给大家带来一些自信感，这对于每一个华子的学生而言都是弥足珍贵的。个人认为，对于工科院系中位水平的同学而言，平均每周在两门课上各投入 8-12小时的时间（包括上课、写作业）是相对合理的。事实上上课就要花掉三个多小时，也就是说完成作业和自己复习复习每周在七八个小时左右就足够了，这样的工作量的确算不上大，但需要持之以恒。尽管同学们在最后会经常做诸如考前三天速通一门专业课的事情，但就这两门数学课而言，还是需要平时扎实的学习，一般来讲如果平时功夫下的好，期中期末周简单看一下往年题就够了。

大学基础数学课和高中数学的区别¶

大一的公共数学基础课思维模式的确与高中数学有着本质的区别。就高中数学而言，大多数还都是直观、形象的知识，计算大多也都是数与式子的普通运算，所谓难度较大的圆锥曲线和导数的难度也不过是数学式子的变形和一些特殊的技巧，比如裂项之类的，当然并不是说到了大学阶段这些技巧就不再重要了，而是说大学数学的难点并不在技巧。即使是数学竞赛大多数也是较为初等的技巧，虽然难度的确更大，但理论本身并不抽象。个人认为，对同学们而言，需要认识到的最重要的一点问题是：我们在大学学习数学，无论是为了考试，还是为了在专业课上应用数学，抑或是为了享受学习数学带来的思维的锻炼和享受，都要注意，我们学到的数学不会再和高中一样把一些本身很简单的问题通过各种包装变得及其复杂，最直观的体现是，大家会觉得高中教材什么都没讲习题也很简单，原因就是，我们高中学的知识真的很简单，做题和教材是完全不同的事情。同学们在结束高考（一些没高考的同学可自动略过，相信以你的实力或许不太需要这份指南x）之后回过头来看，会发现无论高考命题组再强调“回归教材，基本思想方法”，高中数学知识本身和解题之间的鸿沟还是很大，根本原因还是高中数学所涵盖的知识复杂度太低，只能通过各种技巧、计算上的复杂度来提高所谓的“区分度”，所以某种意义上而言，同学们应该摒弃高中学习数学的一些固有观念和方法。另外，一些高中学文科但在大学需要学习高阶数学知识（比如经管学堂班）的同学到了大学也不要担心因为知识问题而跟不上，高中文科数学和理科数学的知识差距相较于高中和大学的数学差距基本可以忽略不计。

在大学阶段，我们更多地关注知识本身，做题大多数是一些比较直接的应用，和知识本身没有那么割裂，甚至对于非数学专业的数学课而言，做题本身比搞明白理论更简单，因为做题本质上已经是抽象理论的一层具体，相对而言对数学抽象思维的要求没那么高。而如果是学数学专业的话，到了后面看懂教材已经是不容易的事情。因此，迎接同学们的第一个挑战还是尽快适应这种思维方式的转变，尤其是把老师上课推导的理论掌握明白，王老师上一年曾说过要“筛选掉对微积分本质不了解的同学”，包括大部分微积分和线代老师在正课环节也是以理论推导为主、例题讲解为辅，而具体的习题讲解就是习题课助教学长学姐负责的内容了，这也是和高中数学形式上很大的区别。但换句话来说，由于老师在课上对例题的讲解往往时间不足，同学们在课下或主动或功利或凭兴趣地学习一些做题或者应用方面的内容也是有必要的。

在我看来，这样的安排是合理的。因为习题的计算相较于高中出偏难怪区分而言，更多的是考察大家对基本原理的应用，所以不应作为主要内容讲解。而对非数类同学而言，学习数学主要还是为了在今后的专业课、科研和工作中将其作为工具和语言来运用，而运用的核心还是要对这套语言本身有着足够全面而准确的理解。毕竟，我们到了实际工作中肯定不会去手算矩阵的特征值，但特征值理论本身是很多学科中经常运用的原理！

基础数学课学习的常见误区¶

针对上面谈及的这些思维方式的差异，抛开消极对待两门数学课的态度之外（也相信看到这里的同学都希望自己能学好这两门数学），思维方式没转变过来会导致对待这两门数学的常见误区：

把高中那套方法全搬过来，去做很多远远超过考试难度的题目（注意是很多，并不代表不能做困难的问题），做得够难或许能代表你对这一部分的理解足够深刻，但功利来讲考试的内容以计算和简单应用为主（当然微积分上一年出了一些比较偏理论的问题，但和所谓的“难题”风格也不太一样），会做难题考试未必能做得高分；不功利的来讲，个人认为大学阶段非数类同学想提高数学水平，重要的应该是提高知识面，比如微积分T和W会补充一些积分的数值算法，这比一些奇怪的计算有用很多，事实上，一些看起来技巧性很强的积分问题就是数值算法的背景！
把数学当成背书课，用记忆的方式去学习，这一点尤其对线性代数而言是大忌。因为数学的理解是一个相当整体的问题，如果理解了核心，有些细节其实无需记忆。
忽视对原理的掌握，知其然而不知其所以然。为了减轻不必要的压力和周折，大部分非数类数学专业课已经省略了一些比较底层和比较边角料的理论推导，剩下的这些都是对理解整套语言体系本身必不可少的。如果只浮于一些具体的计算而不重视原理，即使考试考出了不错的成绩，在将来的应用当中理解一些idea也会很困难（举个例子，学概统的时候会算很多积分，但我们的关键不在于算积分，而在于列出来积分，列积分这一点需要大家对积分的原理有着足够的理解）。

难度评价¶

不同水平数学课的难度差距很大，数学分析和高等代数难度最大，而且难度与老师直接相关，一些比较善良的老师会尽可能把考试题出得比较简单（比如从作业题和往年题中微调，或者只出讲解内容里面比较基础的），或者按比较合理的比例进行调分（比如划定 30-40% 左右的优秀率），一些比较严厉的老师可能就会出的很困难而且不进行分数的调整，但总体来说讲述难度都很大，因为我本人也只是学过数学系的数分和高代，这里无权作评价。高等微积分（线性代数理科类）难度介于数分和微积分（高代和线代）之间，课堂讲述基本沿用传统的数学分析和高等代数的讲述方式，但在考评和作业方面偏向于具体的运算，相对来说抽象性要低一些。开课老师相对固定，所以往年题等资源相对比较丰富，考试有很多可以参考的资料。

微积分（A\B\T）和线性代数也是学习人数最多的版本，由于目前校内已经建立了相关的教研组，教学内容和考试形式都有相对固定的形式。教学内容难度与老师关联较大，经常教数学专业课的老师和王晓峰老师往往会渗透很多数学系专业课的内容（比如我知道王老师会教一些流形的内容），所以听课难度较大，但不必苛求掌握，只要把教材 cover 的内容搞明白已经是很不错的结果。作业大部分是一些计算和证明题，其中证明题往往对大家而言比较难，计算题的技巧性相对于考试也会高一些，但尽管如此最好还是好好完成。考试难度往往远小于作业和讲授内容，大部分以计算为主，证明题也都是作业题的变式或者一些很具体的证明题（本质还是计算，比如化简式子或者不等式等等）所以相对于知其所以然应付考试大多只需要知其然并且适当应用即可，所以 无论同学对于自己数学基础的自信程度如何，请一定相信这一点：如果你的目标只是单纯拿一个好的分数，靠努力和恰当的方法是完全可以实现的。

而微积分和线代的难度区分则见仁见智，因为两门数学的路子直观上差别还是很大。微积分的内容量相对大一些，包括计算的技巧和理论的推导都比线代麻烦很多，但事实上我们会发发现微积分研究的很多都是我们初等数学学过的东西（比如数列、函数、导数，积分也不过是这两年从课纲砍掉了），只不过用一些高等的语言把这一套理论严格化了（但相对而言，这些语言都是自然的）；但线代则是一个全新的东西，其核心在于“抽象”和“构造”，相对于微积分而言大长串的理论推导会少很多（微积分：我们想证明什么什么，所以我们要引理1引理2定理1定理2，然后拿着造好的轮子解决问题；线代：我们造一个这个东西，要求或者证明这个东西满足这一堆性质，然后很多东西都可以抽象成这些东西，我们研究好这个东西能顺带研究一堆东西），像线性空间就是我们抽象出来的一个数学对象，然后我们再通过子空间、直和分解、线性空间的映射和变换来研究它，这是从几何的角度来思考（ n 维线性空间可以理解成 n 维空间坐标系，只要给定了一组基，这样很多的操作和对象就有了相对直观的几何意义）。同学们学线代的时候可能一开始觉得算矩阵解方程很简单暴力，但一旦进入了线性空间和一些几何的内容之后就经常会彻底蒙圈，这样的疑惑也是正常的。简单来说，微积分思维跨度除了最底层的那一部分推导，比如实数连续统公理、可积性充分性推导、含参积分的可积性（之前考试不太要求，但这两年要求开始提高）之外，大部分没有那么大，甚至有像算积分这种抛开原理就是纯技巧的问题，但是就是因为太具体了，对技巧和细节的要求很高，可以理解成“枝繁叶茂的灌木丛”；线代因为是全新的内容，开始理解是会一头雾水，不知道矩阵、向量空间到底是什么东西，但当充分熟悉这套语言之后就会豁然开朗，从理论到计算、应用都是贯通的，可以理解为“一根绳上的蚂蚱”。

数学基础课对后续本专业学习的影响¶

对于基础数学课对后续专业课的影响，不同的同学会给出不同的答案，我曾与几个水平很高的非数学类同学聊过，他们其中有一部分人认为并没有什么用，只是为了拿个高分，到了专业课里面基本上是现学现卖；但有一些同学就觉得大一打下的良好的数理基础会给后续的学习带来莫大的帮助。由于我个人是数学专业的同学，可能并不太了解各个学科专业对数学知识的要求，一部分原因来自于大家的选择不同，偏工程和产业类的发展方向自然更多地是对于技术的应用和革新，但偏学术的方向对数学的要求是一定一定很高的（我这个暑假阅读了一些计算机和金融方面的数学论文和书籍，其中运用到的数学知识非常深刻）。但我个人认为无论从什么方面来讲，学会两门数学课（包括后面的概统、数理方程等）本身还是非常重要的，就算用最不靠谱的说法来讲，高等数学相较于初等数学而言，算是对思维方式的一种历练，在经历过严格的高等数学学习之后，会对学术方向上很多问题能够触类旁通，有更加深刻的思考（确信）