作者目前担任校级答疑组织的志愿者，每周都会有固定时间为同学答疑数学相关问题，在答疑过程中不免产生一些个人的体会，故设“答疑周记”栏目，记录每周答疑过程中遇到的常见问题、个人想法。因为更新时效性较强，同学们可以每周阅读一下周记内的内容。

Week 1

这一周主要想谈一谈新生同学在数学语言和数学技术上需要补足的地方，毕竟大家目前学的东西还太少，暂时没法从知识本身上来谈。

首先我在答疑过程中注意到的比较大的问题是大家的数学语言叙述功底比较欠缺，大部分还是沿用着高中时期最简单的“因为所以”式的逻辑推导，大部分所谓的逻辑推导事实上也都是数字与变量的运算，所以对于一些比较“底层”的证明题，同学们现有的数学语言的使用功底显得捉襟见肘了。对于这一部分，首先大家要在学习过程中不断理解数学推理的一些形式，以及命题的一些证明方法和手段。其中，一部分证明的手段是偏“翻译”式的，例如，我想证明“xxx是xxx”这样的命题，比如说“f是单射”，就要考虑单射的条件“若\(f(x)=f(y)\)则\(x=y\)”，然后再从这样的等价条件不断往前推导，直至与已知条件回合，类似于“搭桥”的证明方法。另一种证明的手段是偏“构造”式的，例如很多极限的证明，往往要构造出合适的 \(N\) 使得其差值控制在 \(\varepsilon\) 之内，这样的构造往往要对条件进行弱化和转化，比如利用不等式放缩等方式将不太容易处理的函数，比如指数、对数，转换成比较好处理的，比如多项式函数。还有一部分命题带有全称量词或特称量词“任意”和“存在”，这样的命题往往会使用反证法导出反例。这些证明方法在高考范围内往往不会出现，但在大学数学课程中则会频繁使用。此外，证明过程的书写也是非常重要的，要注意符号语言的使用，如任意、存在的使用。下标的使用；由因导果和执果所因两种证明路径的叙述；数学归纳法、反证法等特定的证明语言，这些需要大家在学习的过程中不断积累。

第二点是大家的数学技术有待提高，例如不等式的放缩技术、代数变形的技术。这一点高中学过竞赛的同学或许会比较吃香，但即使没学过也不要担心，一开始可以直接看答案，然后想一想为什么要这样去做，比如 \(\varepsilon-N\) 语言证极限的一些放缩，比如二项式放缩、分部放缩后取 MAX 的一些技术；或者一些数列求和、求积的放缩，这一部分常常使用 squeeze theorem 来控制，往往有一些固定的套路，就和高中做题也是一样的道理。不过也不要因小失大，理解每一套理论的 intuition 才是学习知识的关键，所以对于一些技巧性较强的部分，例如将来的行列式计算、矩阵分解、积分计算等部分，可以选择性地学习并掌握，不应掉入奇技淫巧的泥淖中。

开头这两周讲的都是微积分和线代当中比较底层的东西，理论性确实很强，大家无法立即理解也不要担心，等后续学到一些具体的内容时，这些理论的反复应用会不断加深大家的理解能力。